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Fractions

A B, c e− p k or more complicated 󱀸⋔ φ⋈ K 2 3− 1 xy⊗z⨳ m 7Ψ Δ.

Radicals

√ A, √ c, √ q or √ 1 i⩕j+ 1 j⩖i or W √ 5W=√ W 5.

Sizes: √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ .

With index: B√ A or 3√ S T+ U V.

Very large: not implemented.

Parentheses

(A), |B|, { 1 2}, ⟨ 1 2⟩, ❲ 1 2❳, ⌈234⌉, ⦅234⦆, ‖ 1+ 1 2 2‖, or more [1+ 1+ α2 2 4]n+ 1 2.

Sizes: () () () () () () () () () () () () () () () ().

Very large: ( 1+ 1+ 1 2 2+ 1 2 2+ 1+ 1 1 2 2), ❲ 1+ 3 2+ 1 2 2+ 1+ 1 1+ 1 2 2+ 1 2❳SbSp, { 1+ 1+ 1+ 1 2 2 2 2+ 1+ 1 2 2}SbSp.

With a middle bar: {a∈A}f(a)≈g(a)} or { n m∈󱀐}n+m≤F(n,m)}. or { n m k l∈󱀁} l+ k m n≫0}.

Asymmetric: (0, 1 2].

Superscripts and subscripts

ABCD or Xq2+√ 2q−2∗Yd2+√ 2d−2 or (1+ 1 1+ ξ 2)1+ 1 ξ2∗(1+ 1+ η 2 2)η+ 1 2.

Both: ABC or (1+ 1 2)ΓΔ, compare akn with akn.

Nested: 123456.

Primes are kinds of superscripts: A󰎘∗B󰎘∗C󰎙.

Left scripts: DEABC, 1635SO42−, nPr, abcdXabcab, t( a b c d).

Integrals

󰄵ABC, 󰈽AC or 󰈩a3+3a+1a4−2g(x)dx.

Small: ∫ABC, ∫AC, ∫BC.

Overscripts and underscripts

BACD.

Both: CAB or Pn2−2nXn2+2n+1Q or Ur+ 1 2Yℵ0V.

Sums and products

B󰄚AC, 󰈚AC or more practically ϕ(x)=∞󰄚n=0 ϕ(n)(0) n!xn or 󰈖L∈󱁉󰈕M∈󱁊Hom(L,M).

Inline forms: ∑ABC or ⨂n∈󱀍M⊗n.

Accents

󰔇A, 󰔂B, 󰔃c, 󰔊d, 󰕷e, E󰔱, F󰔰, g󰔰.

Wide: 󰂡ABap, 󰂡ap, 󰂗ABap, 󰂗ap, 󰂜ABap, ABap󰂦, Ee󰂦, Pp󰂦.

Sizes: 󰂡 󰂡 󰂡 󰂡 󰂡 󰂡 󰂡 󰂡 󰂡 󰂡 󰂡 󰂡 󰂡 󰂡 󰂡 󰂡 or 󰂦.

Wide braces: ⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞.

Other examples: 󰂡f⊕g, 󰂗T(γ), ABCD, PQ, k times⏞A×A×⋯×A, B×B×⋯×B⏟n+2 times, z+pi−3, G−g.

Accent position: 󰔃a, 󰔃b, 󰔃c, 󰔃d, 󰔃e, 󰔃f, 󰔃g, 󰔃h, 󰔃i, 󰔃j, 󰔃k, 󰔃l, 󰔃m, 󰔃n, 󰔃o, 󰔃p, 󰔃q, 󰔃r, 󰔃s, 󰔃t, 󰔃u, 󰔃v, 󰔃w, 󰔃x, 󰔃y, 󰔃z, 󰔃α, 󰔃β, 󰔃γ, 󰔃δ, 󰔃ε, 󰔃ζ, 󰔃η, 󰔃θ, 󰔃ι, 󰔃κ, 󰔃λ, 󰔃μ, 󰔃ν, 󰔃ξ, 󰔃ο, 󰔃π, 󰔃ρ, 󰔃σ, 󰔃τ, 󰔃υ, 󰔃φ, 󰔃χ, 󰔃ψ, 󰔃ω, a󰔰, b󰔰, c󰔰, d󰔰, e󰔰, f󰔰, g󰔰, h󰔰, i󰔰, j󰔰, k󰔰, l󰔰, m󰔰, n󰔰, o󰔰, p󰔰, q󰔰, r󰔰, s󰔰, t󰔰, u󰔰, v󰔰, w󰔰, x󰔰, y󰔰, z󰔰, α󰔰, β󰔰, γ󰔰, δ󰔰, ε󰔰, ζ󰔰, η󰔰, θ󰔰, ι󰔰, κ󰔰, λ󰔰, μ󰔰, ν󰔰, ξ󰔰, ο󰔰, π󰔰, ρ󰔰, σ󰔰, τ󰔰, υ󰔰, φ󰔰, χ󰔰, ψ󰔰, ω󰔰.

Accented symbols: 󰔊0, 󰔃K, 2󰔇−3, A󰔂⊕B, α:D󰔈→E.

Double: 󰔂󰔂a, 󰔄󰔃P, g󰔱󰔰, 󰔊X󰔰.

Matrices

( 1 2 3 4), | a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45| or Vn:=det( 1 X1 X12 ⋯ X1n−1 1 X2 X22 ⋯ X2n−1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 Xn Xn2 ⋯ Xnn−1)=󰄖1≤i≤n1≤j≤ni<j(Xj−Xi).

Arrays

Φ: V⊗W ⟶ 󱀊 v⊗w ⟼ f(v)g(w) or ∇·B = 0 ∇×E+ ∂B ∂t = 0 ∇·D = ρ ∇×H− ∂D ∂t = j.

Cases: |x|={ x (x≥0) −x (x<0).

Functions

sinA or exp(a−b)= expa expb or max{dimV∣V∈Hoge(󰒭)}.

Alternative letters

󱀀󱀚∗𝔹𝕓∗𝒞𝒸∗󰒛𝒹∗󱁂󱁜 or σ∉󱁞󱁣(󱁐n) or τ∈󰒞󰒝:T⇒S or 󱁞=󱁟⊕󰈕α∈Δ󱁞α.

Miscellaneous

Greek variants: (ϐ,β), (ϵ,ε), (ϑ,θ), (ϰ,κ), (ϖ,π), (ϱ,ρ), (ϕ,φ), (ϒ,Υ) and (Ϝ,ϝ), (Ϙ,ϙ), (Ϡ,ϡ).

Various symbols: ℏ, ♯♭, ♩♪, ♠♡, †, &⅋ and Hom(β󰖣Ξ,F∘-) and m∈M⟺f(m)∉M♮ANDg(m)∉G.

Combining negation symbol: X⊱̸Y, A≪̸B.

Grouping: M⊗󱀙N or limn→∞ logn n=0 or n=−1.

Changing identifier styles: V∈Vectk or Vol=ρsinφdρdθdφ or ifBthenMelseN.

Changing spacing: f:A⊸B and f∈A⊸B.

Phantoms: Aa+Bb+Cc+Dd Aa+Bb+Cc+Dd or (a+1 1 2)(a+ 1 2).

Texts as subformulae: {x∈X∣x is very good} or {x∈X∣x is very good}.

Specifying classes: ax2+bx+c or 󰄵−11√ 1−x2dx= π 2.

Commutative diagrams

Standard: X1YZX⊕ZX⊗Yfghk+longωYρρ2.

Bent arrows: Xf∗MMSTfmf∗mpq! and SetShJ(Set󰒚∘)Set󰒚∘ShJ(Set󰒚∘)ShJ(Set󰒚∘)ΔΓai.

Shifted arrows: Eq(A,B)ABKekfg.

Changing label positions: 1234ABCDE.

Changing arrow tips: 1234↺, compare with →, ↠, ↪.

Double and triple arrows: 24567YZMRSE, compare with →, ⇒, ⇛.

Changing margin: VTSRxyψVverylong+Wlonglong or 123456789101112131415.

Specifying a node by its name: acbFabFacFcb or 󰒚󰒛FGαβΞ.

Proof trees (Gentzen style)

A B A∧B∧I Φ C→E or Oooo [Aaa] [Bbb] [Cc] [W] [Ddddd]Mmmm [Ppp] [Qqq] [R] [Ee]Uuu [Fffff] [X] [Gg] [Yyy] [Hhhh] [Ii]Nn [J].

More complicated examples

1: π 2=∞󰄚k=0 (2k)! 22k(k!)2 1 2k+1=∞󰄖k=1 4k2 4k2−1=(󰄵0∞ sinx √ xdx)2

2: Ψ: {( a −b b a)∈GL2(󱀑)}a2+b2=1} ⟶ 󱀒1 ( a −b b a) ⟼ a+b√ −1

3: P⊗R[P,󰈕i∈I[P,Yi]T]T󰈕i∈I[P,Yi]TP⊗R[P,[P,󰈕i∈IYi]T]T[P,󰈕i∈IYi]Tid⊗[id,λ]λ

4: D0D1D2⋯DnDn+1⋯D∞Φ10Φ01Φ21Φ12Φn+1nΦnn+1Φ∞0Φ∞1Φ∞2Φ∞nΦ∞n+1Φ0∞Φ1∞Φ2∞Φn∞Φn+1∞

5: →I¬¬¬I¬E→E→I¬¬¬I¬E [p]2 [¬p]3 ⊥ [¬q]1 ¬¬q1 q p→q2 [(p→q)→p]4 p [¬p]3 ⊥ ¬¬p3 p ((p→q)→p)→p4

Some practical examples

The quadratic equation ax2+bx+c=0 has two real roots when D:=b2−4ac>0 holds, and those roots are explicitly written as x= −b±√ b2−4ac 2a. The proof is quite easy. The left-hand side of the equation is transformed as: ax2+bx+c = a(x2+ b ax)+c = a((x+ b 2a)2−( b 2a)2)+c = a(x+ b 2a)2− b2 4a+c = a(x+ b 2a)2− b2−4ac 4a. Thus the equation is equivalent to a(x+ b 2a)2− b2−4ac 4a=0, and also equivalent to (x+ b 2a)2= b2−4ac 4a2. Taking the square roots of both sides yields x+ b 2a=± √ b2−4ac 2a. Transposing b/2a to the left finally gives the desired formula.

主イデアル整域 A 上の多項式 P∈A[X] を考え、 P=:Xn+a1Xn−1+⋯+an と係数表示する。 A のある素元 π が存在し、 各 i=1,⋯,n−1 に対して π は ai をわり切り、 さらに π2 は an をわり切らないとする。 このとき、 K:=Frac(A) とおくと、 P は K 上既約である。

2 階連続的微分可能な 󱀑 値 2 変数関数 f(x,y) の極大値や極小値が知りたいとする。 点 (x0,y0) が極大値もしくは極小値であるための必要条件として、 その点が停留点であること、 すなわち ∂f ∂x(x0,y0)= ∂f ∂y(x0,y0)=0 が成り立つことが挙げられる。 この条件のもと、 Taylor 展開を行うことで、 f の点 (x0,y0) の周りでの振る舞いは、 f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+ 1 2(h2 ∂2f ∂x2(x0,y0)+2hk ∂2f ∂x∂y(x0,y0)+k2 ∂2f ∂y2(x0,y0))+o(ρ2) と記述できる。 ここで、 ρ:=√ h2+k2 とした。

Cauchy の積分公式により、 正則関数 F(z) の値は、 ある単純閉曲線 C の内側の点 z に対し、 F(z)= 1 2πi󰅄C F(ζ) ζ−zdζ で与えられる。 これにより、 F の n 階導関数は、 F(n)(z)= n! 2πi󰅄C F(ζ) (ζ−z)n−1dζ と書けることが分かる。

󱀂2×2 の部分集合 󱁪󱁣2(󱀂) := {( c a b −c)∈󱀂2×2}a,b,c∈󱀂} = 󱀂( 0 1 0 0)⊕󱀂( 0 0 1 0)⊕󱀂( 1 0 0 −1) は、 通常の和と交換積によって Lie 代数になる。 これは、 2 次の特殊線型 Lie 代数と呼ばれる。