関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} \varDelta _D $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の余楔といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} D $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の余楔 $ \bar{\alpha} \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} \bar{D} $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の余楔 $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} \bar{D} $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ h \colon \bar{D} \to D $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のコエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} \varDelta _D $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の余楔といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} D $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} \varDelta _D $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の余楔といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} D $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
圏 $ \mathscr{C} $ に対し、圏 $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ を以下によって定める。
- $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ の対象は、$ \mathscr{C} $ の射とする。
- $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ の 2 つの対象 $ f \colon C \to C’ $, $ g \colon D \to D’ $ の間の射は、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to C $, $ k \colon C’ \to D’ $ の組であって、 が可換であるようなものとする。
この圏を $ \mathscr{C} $ の捻れた射の圏という。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 関手 $ \tilde{F} $ を、 で定める。 ここで、$ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ は $ \mathscr{C} $ の捻れた射の圏である。 このとき、$ F $ のエンドが存在することと $ \tilde{F} $ の極限が存在することは同値であり、これらが存在するならば、 が成り立つ。
$ F $ の楔と $ \tilde{F} $ の錐がちょうど対応することを確かめれば良い。 それは容易である。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
圏 $ \mathscr{C} $ に対し、圏 $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ を以下によって定める。
- $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ の対象は、$ \mathscr{C} $ の射とする。
- $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ の 2 つの対象 $ f \colon C \to C’ $, $ g \colon D \to D’ $ の間の射は、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to C $, $ k \colon C’ \to D’ $ の組であって、 が可換であるようなものとする。
この圏を $ \mathscr{C} $ の捻れた射の圏という。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 任意の $ \mathscr{D} $ の対象 $ D $ に対し、以下の式中のエンドやコエンドが存在するならば、 が成り立つ。 さらに、この同型はどちらも $ D $ に関して自然である。
射集合を与える関手は極限を保存するが、命題によりエンドは極限の一種であるから、これはエンドを保存する。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 関手 $ \tilde{F} $ を、 で定める。 ここで、$ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ は $ \mathscr{C} $ の捻れた射の圏である。 このとき、$ F $ のエンドが存在することと $ \tilde{F} $ の極限が存在することは同値であり、これらが存在するならば、 が成り立つ。
$ F $ の楔と $ \tilde{F} $ の錐がちょうど対応することを確かめれば良い。 それは容易である。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
圏 $ \mathscr{C} $ に対し、圏 $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ を以下によって定める。
- $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ の対象は、$ \mathscr{C} $ の射とする。
- $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ の 2 つの対象 $ f \colon C \to C’ $, $ g \colon D \to D’ $ の間の射は、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to C $, $ k \colon C’ \to D’ $ の組であって、 が可換であるようなものとする。
この圏を $ \mathscr{C} $ の捻れた射の圏という。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の余楔 $ \bar{\alpha} \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} \bar{D} $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の余楔 $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} \bar{D} $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ h \colon \bar{D} \to D $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のコエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} \varDelta _D $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の余楔といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} D $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} \varDelta _D $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の余楔といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} D $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、 が成り立つ。
楔 $ \alpha \colon X \mathrel{\dot{\to}} \mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _{\mathscr{D}} (F \text{-}, G \text{-}) $ を考える。 これを 1 つ定めるとは、$ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ と $ X $ の元 $ x $ に対する $ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C x \colon FC \to GC $ の族であって、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換になるものを決めるということである。 この可換性は、各 $ x $ を固定したときに、$ \alpha _C x \colon FC \to GC $ たちが自然変換 $ \alpha _{\text{-}} x \colon F \Rightarrow G $ を成すということに他ならない。
このことをふまえると、$ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ と $ \mathop{\mathrm{Nat}} (F, G) $ の元 $ \sigma $ に対して $ \beta _C \sigma \mathrel{:=} \sigma _C \colon FC \to GC $ と定めることにより、楔 $ \beta \colon \mathop{\mathrm{Nat}} (F, G) \mathrel{\dot{\to}} \mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _{\mathscr{D}} (F \text{-}, G \text{-}) $ が得られる。 さらに任意の楔 $ \alpha \colon X \mathrel{\dot{\to}} \mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _{\mathscr{D}} (F \text{-}, G \text{-}) $ をとり、 と定めると、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対して、 は可換である。 これはすなわち、$ \beta $ が定理のエンドを定める楔であることを意味している。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \to \mathbf{Set} $ に対し、以下の式中の積や冪が存在するならば、 が成り立つ。 また同様に、関手 $ G \colon \mathscr{C} \to \mathbf{Set} $ に対し、以下の式中の積や冪が存在するならば、 が成り立つ。 なお、積と冪をそれぞれ $ \times $ と $ \rightharpoonup $ で表した。
ここでは最初の式のみを示す。 残りの式も同様に証明できる。
任意の集合 $ X $ に対し、 が成り立つ。 ここで 1 行目では、命題を用いてコエンドを外に出し、2 行目では、積の性質を用いてエンドの中の式を変形した。 3 行目では、定理を用いてエンドを自然変換全体の集合で表した。 最後に 4 行目では、通常の Yoneda の補題を用いた。
最初と最後の式を比べれば、再び Yoneda の補題を用いることで、定理の式が従う。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 任意の $ \mathscr{D} $ の対象 $ D $ に対し、以下の式中のエンドやコエンドが存在するならば、 が成り立つ。 さらに、この同型はどちらも $ D $ に関して自然である。
射集合を与える関手は極限を保存するが、命題によりエンドは極限の一種であるから、これはエンドを保存する。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 関手 $ \tilde{F} $ を、 で定める。 ここで、$ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ は $ \mathscr{C} $ の捻れた射の圏である。 このとき、$ F $ のエンドが存在することと $ \tilde{F} $ の極限が存在することは同値であり、これらが存在するならば、 が成り立つ。
$ F $ の楔と $ \tilde{F} $ の錐がちょうど対応することを確かめれば良い。 それは容易である。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
圏 $ \mathscr{C} $ に対し、圏 $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ を以下によって定める。
- $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ の対象は、$ \mathscr{C} $ の射とする。
- $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ の 2 つの対象 $ f \colon C \to C’ $, $ g \colon D \to D’ $ の間の射は、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to C $, $ k \colon C’ \to D’ $ の組であって、 が可換であるようなものとする。
この圏を $ \mathscr{C} $ の捻れた射の圏という。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の余楔 $ \bar{\alpha} \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} \bar{D} $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の余楔 $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} \bar{D} $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ h \colon \bar{D} \to D $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のコエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} \varDelta _D $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の余楔といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} D $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} \varDelta _D $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の余楔といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} D $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の余楔 $ \bar{\alpha} \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} \bar{D} $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の余楔 $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} \bar{D} $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ h \colon \bar{D} \to D $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のコエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} \varDelta _D $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の余楔といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} D $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} \varDelta _D $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の余楔といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} D $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、 が成り立つ。
楔 $ \alpha \colon X \mathrel{\dot{\to}} \mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _{\mathscr{D}} (F \text{-}, G \text{-}) $ を考える。 これを 1 つ定めるとは、$ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ と $ X $ の元 $ x $ に対する $ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C x \colon FC \to GC $ の族であって、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換になるものを決めるということである。 この可換性は、各 $ x $ を固定したときに、$ \alpha _C x \colon FC \to GC $ たちが自然変換 $ \alpha _{\text{-}} x \colon F \Rightarrow G $ を成すということに他ならない。
このことをふまえると、$ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ と $ \mathop{\mathrm{Nat}} (F, G) $ の元 $ \sigma $ に対して $ \beta _C \sigma \mathrel{:=} \sigma _C \colon FC \to GC $ と定めることにより、楔 $ \beta \colon \mathop{\mathrm{Nat}} (F, G) \mathrel{\dot{\to}} \mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _{\mathscr{D}} (F \text{-}, G \text{-}) $ が得られる。 さらに任意の楔 $ \alpha \colon X \mathrel{\dot{\to}} \mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _{\mathscr{D}} (F \text{-}, G \text{-}) $ をとり、 と定めると、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対して、 は可換である。 これはすなわち、$ \beta $ が定理のエンドを定める楔であることを意味している。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
圏 $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ と集合 $ X $ をとる。 任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C’ $ に対して、全単射 が $ C’ $ に関して自然に成り立つような $ \mathscr{C} $ の対象 $ X \odot C $ を、$ X $ と $ C $ のテンソル対象という。
圏 $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ と集合 $ X $ をとる。 任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C’ $ に対して、全単射 が $ C’ $ に関して自然に成り立つような $ \mathscr{C} $ の対象 $ X \pitchfork C $ を、$ X $ と $ C $ の余テンソル対象という。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \times \mathscr{B} ^\circ \times \mathscr{B} \to \mathscr{D} $ に対し、以下の式中の左辺と右辺の一方が存在すればもう一方も存在し、 がそれぞれ成り立つ。
圏論の一般論から極限は常に交換するが、命題によりエンドは極限の一種であるから、互いに交換する。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 関手 $ \tilde{F} $ を、 で定める。 ここで、$ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ は $ \mathscr{C} $ の捻れた射の圏である。 このとき、$ F $ のエンドが存在することと $ \tilde{F} $ の極限が存在することは同値であり、これらが存在するならば、 が成り立つ。
$ F $ の楔と $ \tilde{F} $ の錐がちょうど対応することを確かめれば良い。 それは容易である。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
圏 $ \mathscr{C} $ に対し、圏 $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ を以下によって定める。
- $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ の対象は、$ \mathscr{C} $ の射とする。
- $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ の 2 つの対象 $ f \colon C \to C’ $, $ g \colon D \to D’ $ の間の射は、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to C $, $ k \colon C’ \to D’ $ の組であって、 が可換であるようなものとする。
この圏を $ \mathscr{C} $ の捻れた射の圏という。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} \to \mathscr{D} $, $ G \colon \mathscr{C} \to \mathscr{E} $ をとる。 $ F $ に沿った $ G $ の左 Kan 拡張と右 Kan 拡張は、それぞれ以下の式中のテンソル対象もしくは余テンソル対象が存在するならば、$ \mathscr{D} $ の各対象 $ D’ $ に対し、 と書ける。
ここでは最初の式のみを示す。 2 つ目の式も同様に証明できる。
任意の関手 $ H \colon \mathscr{D} \to \mathscr{E} $ に対し、 が成り立つ。 ここで 1 行目では、定理を用いて自然変換全体をエンドで表した。 2 行目では、命題を用いてコエンドを外に出し、続く 3 行目では、定理を用いてエンドの順序を交換し、テンソル対象の定義を用いてエンドの中の式を変形した。 さらに 4 行目では、定理を用いてエンドを自然変換全体の集合で表した。 5 行目では、定理を用いて式変形し、最後に 6 行目では、再び定理を用いた。
最初と最後の式を比べると、これは定理中のコエンドが左 Kan 拡張の満たすべき普遍性を満たしていることを意味している。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、 が成り立つ。
楔 $ \alpha \colon X \mathrel{\dot{\to}} \mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _{\mathscr{D}} (F \text{-}, G \text{-}) $ を考える。 これを 1 つ定めるとは、$ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ と $ X $ の元 $ x $ に対する $ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C x \colon FC \to GC $ の族であって、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換になるものを決めるということである。 この可換性は、各 $ x $ を固定したときに、$ \alpha _C x \colon FC \to GC $ たちが自然変換 $ \alpha _{\text{-}} x \colon F \Rightarrow G $ を成すということに他ならない。
このことをふまえると、$ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ と $ \mathop{\mathrm{Nat}} (F, G) $ の元 $ \sigma $ に対して $ \beta _C \sigma \mathrel{:=} \sigma _C \colon FC \to GC $ と定めることにより、楔 $ \beta \colon \mathop{\mathrm{Nat}} (F, G) \mathrel{\dot{\to}} \mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _{\mathscr{D}} (F \text{-}, G \text{-}) $ が得られる。 さらに任意の楔 $ \alpha \colon X \mathrel{\dot{\to}} \mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _{\mathscr{D}} (F \text{-}, G \text{-}) $ をとり、 と定めると、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対して、 は可換である。 これはすなわち、$ \beta $ が定理のエンドを定める楔であることを意味している。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 任意の $ \mathscr{D} $ の対象 $ D $ に対し、以下の式中のエンドやコエンドが存在するならば、 が成り立つ。 さらに、この同型はどちらも $ D $ に関して自然である。
射集合を与える関手は極限を保存するが、命題によりエンドは極限の一種であるから、これはエンドを保存する。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 関手 $ \tilde{F} $ を、 で定める。 ここで、$ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ は $ \mathscr{C} $ の捻れた射の圏である。 このとき、$ F $ のエンドが存在することと $ \tilde{F} $ の極限が存在することは同値であり、これらが存在するならば、 が成り立つ。
$ F $ の楔と $ \tilde{F} $ の錐がちょうど対応することを確かめれば良い。 それは容易である。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
圏 $ \mathscr{C} $ に対し、圏 $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ を以下によって定める。
- $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ の対象は、$ \mathscr{C} $ の射とする。
- $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ の 2 つの対象 $ f \colon C \to C’ $, $ g \colon D \to D’ $ の間の射は、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to C $, $ k \colon C’ \to D’ $ の組であって、 が可換であるようなものとする。
この圏を $ \mathscr{C} $ の捻れた射の圏という。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の余楔 $ \bar{\alpha} \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} \bar{D} $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の余楔 $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} \bar{D} $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ h \colon \bar{D} \to D $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のコエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} \varDelta _D $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の余楔といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} D $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} \varDelta _D $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の余楔といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} D $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の余楔 $ \bar{\alpha} \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} \bar{D} $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の余楔 $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} \bar{D} $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ h \colon \bar{D} \to D $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のコエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} \varDelta _D $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の余楔といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} D $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} \varDelta _D $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の余楔といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} D $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \times \mathscr{B} ^\circ \times \mathscr{B} \to \mathscr{D} $ に対し、以下の式中の左辺と右辺の一方が存在すればもう一方も存在し、 がそれぞれ成り立つ。
圏論の一般論から極限は常に交換するが、命題によりエンドは極限の一種であるから、互いに交換する。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 関手 $ \tilde{F} $ を、 で定める。 ここで、$ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ は $ \mathscr{C} $ の捻れた射の圏である。 このとき、$ F $ のエンドが存在することと $ \tilde{F} $ の極限が存在することは同値であり、これらが存在するならば、 が成り立つ。
$ F $ の楔と $ \tilde{F} $ の錐がちょうど対応することを確かめれば良い。 それは容易である。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
圏 $ \mathscr{C} $ に対し、圏 $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ を以下によって定める。
- $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ の対象は、$ \mathscr{C} $ の射とする。
- $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ の 2 つの対象 $ f \colon C \to C’ $, $ g \colon D \to D’ $ の間の射は、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to C $, $ k \colon C’ \to D’ $ の組であって、 が可換であるようなものとする。
この圏を $ \mathscr{C} $ の捻れた射の圏という。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
圏 $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ と集合 $ X $ をとる。 任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C’ $ に対して、全単射 が $ C’ $ に関して自然に成り立つような $ \mathscr{C} $ の対象 $ X \odot C $ を、$ X $ と $ C $ のテンソル対象という。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、 が成り立つ。
楔 $ \alpha \colon X \mathrel{\dot{\to}} \mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _{\mathscr{D}} (F \text{-}, G \text{-}) $ を考える。 これを 1 つ定めるとは、$ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ と $ X $ の元 $ x $ に対する $ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C x \colon FC \to GC $ の族であって、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換になるものを決めるということである。 この可換性は、各 $ x $ を固定したときに、$ \alpha _C x \colon FC \to GC $ たちが自然変換 $ \alpha _{\text{-}} x \colon F \Rightarrow G $ を成すということに他ならない。
このことをふまえると、$ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ と $ \mathop{\mathrm{Nat}} (F, G) $ の元 $ \sigma $ に対して $ \beta _C \sigma \mathrel{:=} \sigma _C \colon FC \to GC $ と定めることにより、楔 $ \beta \colon \mathop{\mathrm{Nat}} (F, G) \mathrel{\dot{\to}} \mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _{\mathscr{D}} (F \text{-}, G \text{-}) $ が得られる。 さらに任意の楔 $ \alpha \colon X \mathrel{\dot{\to}} \mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _{\mathscr{D}} (F \text{-}, G \text{-}) $ をとり、 と定めると、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対して、 は可換である。 これはすなわち、$ \beta $ が定理のエンドを定める楔であることを意味している。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \to \mathbf{Set} $ に対し、以下の式中の積や冪が存在するならば、 が成り立つ。 また同様に、関手 $ G \colon \mathscr{C} \to \mathbf{Set} $ に対し、以下の式中の積や冪が存在するならば、 が成り立つ。 なお、積と冪をそれぞれ $ \times $ と $ \rightharpoonup $ で表した。
ここでは最初の式のみを示す。 残りの式も同様に証明できる。
任意の集合 $ X $ に対し、 が成り立つ。 ここで 1 行目では、命題を用いてコエンドを外に出し、2 行目では、積の性質を用いてエンドの中の式を変形した。 3 行目では、定理を用いてエンドを自然変換全体の集合で表した。 最後に 4 行目では、通常の Yoneda の補題を用いた。
最初と最後の式を比べれば、再び Yoneda の補題を用いることで、定理の式が従う。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 任意の $ \mathscr{D} $ の対象 $ D $ に対し、以下の式中のエンドやコエンドが存在するならば、 が成り立つ。 さらに、この同型はどちらも $ D $ に関して自然である。
射集合を与える関手は極限を保存するが、命題によりエンドは極限の一種であるから、これはエンドを保存する。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 関手 $ \tilde{F} $ を、 で定める。 ここで、$ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ は $ \mathscr{C} $ の捻れた射の圏である。 このとき、$ F $ のエンドが存在することと $ \tilde{F} $ の極限が存在することは同値であり、これらが存在するならば、 が成り立つ。
$ F $ の楔と $ \tilde{F} $ の錐がちょうど対応することを確かめれば良い。 それは容易である。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
圏 $ \mathscr{C} $ に対し、圏 $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ を以下によって定める。
- $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ の対象は、$ \mathscr{C} $ の射とする。
- $ \mathbf{Tw} (\mathscr{C}) $ の 2 つの対象 $ f \colon C \to C’ $, $ g \colon D \to D’ $ の間の射は、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to C $, $ k \colon C’ \to D’ $ の組であって、 が可換であるようなものとする。
この圏を $ \mathscr{C} $ の捻れた射の圏という。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の余楔 $ \bar{\alpha} \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} \bar{D} $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の余楔 $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} \bar{D} $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ h \colon \bar{D} \to D $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のコエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} \varDelta _D $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の余楔といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} D $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} \varDelta _D $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の余楔といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} D $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の余楔 $ \bar{\alpha} \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} \bar{D} $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の余楔 $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} \bar{D} $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ h \colon \bar{D} \to D $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のコエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} \varDelta _D $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の余楔といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} D $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} \varDelta _D $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の余楔といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} D $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、 が成り立つ。
楔 $ \alpha \colon X \mathrel{\dot{\to}} \mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _{\mathscr{D}} (F \text{-}, G \text{-}) $ を考える。 これを 1 つ定めるとは、$ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ と $ X $ の元 $ x $ に対する $ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C x \colon FC \to GC $ の族であって、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換になるものを決めるということである。 この可換性は、各 $ x $ を固定したときに、$ \alpha _C x \colon FC \to GC $ たちが自然変換 $ \alpha _{\text{-}} x \colon F \Rightarrow G $ を成すということに他ならない。
このことをふまえると、$ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ と $ \mathop{\mathrm{Nat}} (F, G) $ の元 $ \sigma $ に対して $ \beta _C \sigma \mathrel{:=} \sigma _C \colon FC \to GC $ と定めることにより、楔 $ \beta \colon \mathop{\mathrm{Nat}} (F, G) \mathrel{\dot{\to}} \mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _{\mathscr{D}} (F \text{-}, G \text{-}) $ が得られる。 さらに任意の楔 $ \alpha \colon X \mathrel{\dot{\to}} \mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _{\mathscr{D}} (F \text{-}, G \text{-}) $ をとり、 と定めると、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対して、 は可換である。 これはすなわち、$ \beta $ が定理のエンドを定める楔であることを意味している。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、 が成り立つ。
楔 $ \alpha \colon X \mathrel{\dot{\to}} \mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _{\mathscr{D}} (F \text{-}, G \text{-}) $ を考える。 これを 1 つ定めるとは、$ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ と $ X $ の元 $ x $ に対する $ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C x \colon FC \to GC $ の族であって、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換になるものを決めるということである。 この可換性は、各 $ x $ を固定したときに、$ \alpha _C x \colon FC \to GC $ たちが自然変換 $ \alpha _{\text{-}} x \colon F \Rightarrow G $ を成すということに他ならない。
このことをふまえると、$ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ と $ \mathop{\mathrm{Nat}} (F, G) $ の元 $ \sigma $ に対して $ \beta _C \sigma \mathrel{:=} \sigma _C \colon FC \to GC $ と定めることにより、楔 $ \beta \colon \mathop{\mathrm{Nat}} (F, G) \mathrel{\dot{\to}} \mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _{\mathscr{D}} (F \text{-}, G \text{-}) $ が得られる。 さらに任意の楔 $ \alpha \colon X \mathrel{\dot{\to}} \mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _{\mathscr{D}} (F \text{-}, G \text{-}) $ をとり、 と定めると、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対して、 は可換である。 これはすなわち、$ \beta $ が定理のエンドを定める楔であることを意味している。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の楔 $ \bar{\alpha} \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の楔 $ \alpha \colon \bar{D} \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ に対し、$ \mathscr{C} $ の射 $ h \colon D \to \bar{D} $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon \varDelta _D \mathrel{\dot{\Rightarrow}} F $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の楔といい、$ \alpha \colon D \mathrel{\dot{\rightarrow}} F $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ F $ の余楔 $ \bar{\alpha} \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} \bar{D} $ が以下の条件を満たすとする。
- 任意の $ F $ の余楔 $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} \bar{D} $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ h \colon \bar{D} \to D $ が一意に存在して、任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ について、 は可換である。
このとき、$ \bar{D} $ を $ F $ のコエンドといい、 で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} \varDelta _D $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の余楔といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} D $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
関手 $ F \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ をとる。 $ \mathscr{D} $ のある対象 $ D $ に対して $ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} \varDelta _D $ の形の双自然変換を、$ D $ における $ F $ の余楔といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\rightarrow}} D $ で表す。 ここで、$ \varDelta _D $ は $ D $ に値をもつ定値関手である。
関手 $ F, G \colon \mathscr{C} ^\circ \times \mathscr{C} \to \mathscr{D} $ に対し、$ \mathscr{C} $ の各対象 $ C $ に対し、$ \mathscr{D} $ の射 $ \alpha _C \colon F (C, C) \to G (C, C) $ が定まっているとする。 さらに、任意の $ \mathscr{C} $ の射 $ f \colon C \to C’ $ に対し、 が可換であるとする。 このとき、$ \alpha $ を双自然変換といい、$ \alpha \colon F \mathrel{\dot{\Rightarrow}} G $ で表す。
圏 $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ と集合 $ X $ をとる。 任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C’ $ に対して、全単射 が $ C’ $ に関して自然に成り立つような $ \mathscr{C} $ の対象 $ X \odot C $ を、$ X $ と $ C $ のテンソル対象という。
圏 $ \mathscr{C} $ の対象 $ C $ と集合 $ X $ をとる。 任意の $ \mathscr{C} $ の対象 $ C’ $ に対して、全単射 が $ C’ $ に関して自然に成り立つような $ \mathscr{C} $ の対象 $ X \pitchfork C $ を、$ X $ と $ C $ の余テンソル対象という。